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层次分析法
层次分析法（The analytic hierarchy process,简称AHP）
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什么是层次分析法
层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯·塞蒂（T.L.Saaty）正式提出。它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。
层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。不妨用假期旅游为例：假如有3个旅游胜地A、B、C供你选择，你会根据诸如景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较这3个候选地点．首先，你会确定这些准则在你的心目中各占多大比重，如果你经济宽绰、醉心旅游，自然分别看重景色条件，而平素俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注。其次，你会就每一个准则将3个地点进行对比，譬如A景色最好，B次之；B费用最低，C次之；C居住等条件较好等等。最后，你要将这两个层次的比较判断进行综合，在A、B、C中确定哪个作为最佳地点。
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层次分析法的基本步骤
1、建立层次结构模型。在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。当准则过多时(譬如多于9个)应进一步分解出子准则层。
2、构造成对比较阵。从层次结构模型的第2层开始，对于从属于(或影响)上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1—9比较尺度构追成对比较阵，直到最下层。
3、计算权向量并做一致性检验。对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量(归一化后)即为权向量：若不通过，需重新构追成对比较阵。
4、计算组合权向量并做组合一致性检验。计算最下层对目标的组合权向量，并根据公式做组合一致性检验，若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较阵。
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层次分析法的优点
运用层次分析法有很多优点，其中最重要的一点就是简单明了。层次分析法不仅适用于存在不确定性和主观信息的情况，还允许以合乎逻辑的方式运用经验、洞察力和直觉。也许层次分析法最大的优点是提出了层次本身，它使得买方能够认真地考虑和衡量指标的相对重要性。
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实证分析
在这里我们以某一购房者的情况为例展开决策分析。
案例：某人在中介提供的众多房源中，已初步看中3套房源，每平方米单价分别为5000元、60OO元、7000元，各房源除建筑年代和周边配套设施基本相同或相似之外，其余因素各不相同，现利用层次分析法做出评价。
一、递阶层次结构模型的构建
依据“性价比最优”的决策目标，首先将影响因素划分为两类，一是效用类，即由内部结构、小区环境、楼层、地段、面积五个因素构成。二是成本类，即价格因素。根据层次分析法原理确定出每套房源在总房源中的效用权重及成本权重，然后计算其比值，即为“性价比”。由于成本类只考虑价格一个因素，且其是量化的，因此各房源成本的权重可以直接以其单价在总房源单价中的比重表示，在此只需构建三个购房方案的效用层次结构模型，见图。
二、两两比较判断矩阵的构造(记为M)
建立上述购房效用层次结构后，就需要确定一个上层元素所支配的下一层若干元素以该上层元素为准则的比较判断矩阵。根据T.L.Saaty教授提出的比例九标度法(见表1)，及该购房者对以上五个效用准则的重要性判断，分别构造出效用层次结构中准则层对目标层、方案层对准则层的比较判断矩阵。见表2—表7(注：各表中的符号与效用层次结构模型中的符号对应)。
三、单一准则下元素相对排序权重的计算及其一致性检验
1、层次单排序。求解各元素排序权重的方法有行和法、方根法、和积法，本文采用方根法计算。其计算步骤如下。
(1)逐行计算矩阵(M)的几何平均值G1，(i为行号，i=l，2,…，n)
(2)对Gi进行归一化，即为所计算的权重Wi。
则W = (W1W2…Wn)T即为所计算的权重向量。
(3计算判断矩阵的最大特征根λmax(为后面的一致性检验服务)。
(i=1,2,…,n)
式中，MW表示判断矩M与权重向量W相乘后得到的新向量，MWi为MW的第i个元素。
2、一致性检验。在构造判断矩阵时，由于客观事物的复杂性和人的判断能力的局限性，人们在对各元素重要性的判断过程中难免会出现矛盾。如在判断元素x/y=1：4、y/z=1：2的同时，可能会出现判断x/z=1：3的矛盾情况。为此，需要对判断矩阵进行一致性检验，以检查所构判断矩阵及由之导出的权重向量的合理性。一般是利用一致性比率指标CR进行检验。公式为
CR =CI/RI
式中，CI = (λmax − n) / (n − 1)为一致性指标，RI为平均随机一致性指标，是通过大量试验确定的。部分随机一致性指标RI的数值见表8。当CR<0.1时，认为矩阵的不一致程度是可以接受的，否则，认为不一致性太严重，需重新构造判断矩阵或做必要的调整。
经计算，上述构建的六个判断矩阵的权重向量及一致性检验结果如下(WB表示准则层对目标层的权重向量，表示方案层对第j项准则的权重向量)。
(1)各准则问比较。WB = (0.0893,0.2465,0.0408,0.4955,0.1279)T，λmax = 5.2360，CI=0.059，CR=0.0527<0.1。可以看出，效用的五个影响因素中，地段最重要，其次为小区环境及面积等。
(2)各方案间比较。
① 内部结构：，λmax = 3.0036，CI=0.0018,CR =0.0031<0.1
② 小区环境：，λmax = 3.0037，CI=0.0019，CR =0.0033<0.1
③ 楼层：， λmax = 3.00，CI=0.00,CR =0.00<0.1
④地段：，λmax = 3.0183，CI=0.0092．CR=0.0158<0.1
⑤ 面积：，λmax […]